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벡터 공간의 벡터의 합과 스칼라 곱셈 연산은 선형성이 있어서 선형 연산이라고도 한다. 선형 연산을 사용해 n개의 스칼라와 n개의 벡터를 결합해 새로운 벡터를 생성하는 수식을 선형 결합(Linear Combination)이라고 한다. 선형 결합시 모든 a가 0이 아님에도 영베터를 만들 수 있다면, 선형 결합에 사용된 벡터는 서로 ‘선형 종속의 관계’ 를 가진다. 반면 영벡터가 나오기 위해 모든 a값이 0이어야 한다면 선형 결합에 사용된 벡터들은 서로 ‘선형 독립의 관계’를 가진다 라고 표현한다. 벡터 간의 선형적 관계는 벡터 공간을 다룰 때 중요하게 사용 - 선형 독립의 관계를 가지는 벡터를 선형 결합하면 벡터 공간에 속한 모든 벡터를 생성할 수 있기 때문 두 벡터가 선형 독립의 관계를 가진다면 선형 결합..

스칼라와 벡터 평면의 좌표 (x,y)는 두 실수 x와 y를 결합해 만들어진다. 그렇기 때문에 좌표의 연산은 실수가 지니는 연산의 성질을 바탕으로 설계돼야 한다. 두 개 이상의 실수를 곱집합으로 묶어 형성된 집합을 공리적 집합론의 관점에서 규정한 것을 **벡터 공간(Vector Space)**이라고 하며, 벡터 공간의 원소를 **벡터(Vector)**라고 한다. 공리적 집합론의 관점에서는 특정한 수 집합을 지칭하지 않고 연산이 갖는 성질만 다루기 때문에, 좌푯값으로 사용하는 x와 y를 실수로 규정하기 보다 체의 구조를 지니는 집합, 즉 체 집합의 원소로 규정한다. 이렇게 체의 구조를 가지는 수 집합의 원소를 스칼라(Scalar)라고 부른다. 집합의 개념인 벡터 공간을 표기할 때는 주로 대문자 V를 사용하고..

데카르트 좌표계 직선의 수 집합을 수직으로 배치해 평면을 표기하는 방식을 데카르트 좌표계(Cartesian Coordinate System) 이라고 한다. 곱집합의 원어가 데카르트 곱(Cartesian Product)임을 생각한다면 이 둘은 동일한 개념임을 알 수 있다. 데카르트 좌표계는 수평으로 배치한 첫 번째 실수 집합의 미지수를 x, 수직으로 배치한 두 번째 실수 집합의 미지수를 y로 표기하고 원점을 기준을 x축의 오른편, y축의 위편은 양의 영역을 나타낸다. 배치된 두 실수 집합으로 평면을 가르면 평면의 영역은 총 4개의 분면으로 나뉘는데, 오른쪽 상단에서 반시계 방향으로 제1사분면 - 제4사분면으로 나뉜다. 데카르트 좌표계의 한 원소는 곱집합과 동일하게 순서쌍으로 표현하며 좌표(Coordinat..

함수 함수(Function)란 두 집합에서 첫 번째 집합의 모든 원소가 빠짐없이 두 번째 집합의 어떤 원소에 대응하는 관계를 의미한다. 함수의 개념과 종류 두 규칙이 성립되야 함수로 인정 첫 번째 집합의 모든 원소에 대한 대응 관계가 졵재해야 함 첫 번째 집합의 원소는 두 번째 집합의 한 원소에만 대응되어야 함 왼쪽 집합과 오른쪽 집합이 가져야 하는 조건이 다르다 보니 함수에서 정의된 용어를 사용해 두 집합이 가진 대응 관계를 명확하게 전달하는 것을 권장한다. 왼쪽에 위치한 첫 번째 집합을 정의역(Domain), 오른쪽에 위치한 두 번째 집합을 공역(Codomain) 이라 한다. 정의역의 모든 원소는 공역의 원소에 대응되어야 한다. 하지만 공역의 모든 원소가 정의역에 대응할 필요는 없다. 따라서 정의역에..

수와 집합 집합(Set) 원소(Element) 집합은 서로 구분되는 원소로 구성된 묶음을 의미 이러한 집합론을 소박한 집합론(Navie set theory) 라고 한다. 소박한 집합론 관점에서 용도에 따라 수집합을 정의하여 구분 자연수 - 물건을 세거나 순서를 지정하기 위해 사용하는 수의 집합 정수 - 자연수와 자연수의 음수 0을 포함하는 수의 집합 유리수 - 분모가 0이 아닌 두 정수의 비율 혹은 분수로 나타낼 수 있는 수의 집합 무리수 - 두 정수 비 혹은 분소로 나타낼 수 없는 수의 집합 실수 - 유리수와 무리수를 포함하는 수의 집합 복소수 - 실수와 제곱하면 -1이 되는 허수단위 i를 조합해 a+bi(a,b는 실수) 형태로 표현하는 수의 집합 사원수 - 실수와 제곱하면 -1이 되는 세 허수 단위 ..

공간을 다루는 수학은 가상공간을 구축, 변환하고 분석하는 데 사용되는 수학을 의미 가상공간을 벡터로 구성하면서 행렬이라는 도구를 사용하면 원하는 대로 변형이 가능 물체를 다루는 수학은 물체의 외형을 설정하고 이를 모니터 화면에 표현하는 데 사용되는 수학을 말한다. 현실 세계에서 그림을 그릴 때에는 선을 다양한 형태와 질감을 표현하지만, 컴퓨터 그래픽은 오로지 삼각형을 사용해 물체를 표현한다. 추상적인 수들로 구성된 가상 공간이 모니터 화면을 구성하는 픽셀로 변환되게 하려면 일련의 규칙을 설정하고 프로그래밍해야 한다. 이를 픽셀화(Rasterization)라고 한다. 3. 회전을 다루는 수학은 가상 공간에서 안정적인 회전 변환을 구현하는 데 사용되는 수학.