5. 벡터의 결합과 생성

• 벡터 공간의 벡터의 합과 스칼라 곱셈 연산은 선형성이 있어서 선형 연산이라고도 한다.

 

• 선형 연산을 사용해 n개의 스칼라와 n개의 벡터를 결합해 새로운 벡터를 생성하는 수식을 선형 결합(Linear Combination)이라고 한다.

 

• 선형 결합시 모든 a가 0이 아님에도 영베터를 만들 수 있다면, 선형 결합에 사용된 벡터는 서로 ‘선형 종속의 관계’ 를 가진다.

 

• 반면 영벡터가 나오기 위해 모든 a값이 0이어야 한다면 선형 결합에 사용된 벡터들은 서로 ‘선형 독립의 관계’를 가진다 라고 표현한다.

 

• 벡터 간의 선형적 관계는 벡터 공간을 다룰 때 중요하게 사용 - 선형 독립의 관계를 가지는 벡터를 선형 결합하면 벡터 공간에 속한 모든 벡터를 생성할 수 있기 때문

 

• 두 벡터가 선형 독립의 관계를 가진다면 선형 결합식으로 2차원 벡터 공간에 속한 모든 벡터를 생성할 수 있다.

 

• 평면의 모든 점을 생성하기 위한 선형 결합식에는 서로 평행하지 않은 2개의 벡터가 필요하고, 두 벡터는 서로 선형 독립의 관계를 가져야한다

 

• 선형 독립의 관계가 유지되려면 2개의 벡터만 사용되어야 한다

 

 

• 벡터 공간 내 모든 벡터를 생성할 수 있는 선형 독립 관계를 가지는 벡터의 집합을 기저(Basis)

 

• 집합의 개념인 기저에 속한 원소를 기저벡터(Basis vector)

 

• 기저벡터를 다른 값으로 변경하면 기저벡터로부터 세워진 벡터 공간의 모든 원소가 바뀐다. 이것은 선형 변환의 기본 원리

 

• 이러한 기저의 개념은 차원(Dimension)이라는 새로운 용어를 정의하는데 사용

 

 

 

• 지금까지 설명한 벡터 공간은 두 개의 실수 집합을 결합해 생성한 벡터 공간 2차원 실벡터 공간(Real vector space)라고 부른다

 

• 단위 벡터로 구성된 집합을 표준기저(Standard basis), 기저의 각 원소를 표준기저벡터(Standard basis vector)라고 한다