2. 함수

함수

 

• 함수(Function)란 두 집합에서 첫 번째 집합의 모든 원소가 빠짐없이 두 번째 집합의 어떤 원소에 대응하는 관계를 의미한다.

 

 

함수의 개념과 종류

 

• 두 규칙이 성립되야 함수로 인정
  1. 첫 번째 집합의 모든 원소에 대한 대응 관계가 졵재해야 함
  2. 첫 번째 집합의 원소는 두 번째 집합의 한 원소에만 대응되어야 함

• 왼쪽 집합과 오른쪽 집합이 가져야 하는 조건이 다르다 보니 함수에서 정의된 용어를 사용해 두 집합이 가진 대응 관계를 명확하게 전달하는 것을 권장한다.

 

• 왼쪽에 위치한 첫 번째 집합을 정의역(Domain), 오른쪽에 위치한 두 번째 집합을 공역(Codomain) 이라 한다.

 

• 정의역의 모든 원소는 공역의 원소에 대응되어야 한다. 하지만 공역의 모든 원소가 정의역에 대응할 필요는 없다.

 

• 따라서 정의역에 대응되는 공역의 원소만 모아 부분집합(Subset)을 형성할 수 있는데, 이를 치역(Range)라고 부른다.

 

• 또한 함수에 사용하는 정의역의 요소를 입력(Input), 입력에 대응하는 공역의 요소를 출력(Output)이라고 한다.

 

 

• 전사함수(Surjection) 위로의 함수(Onto라고도 부름)
  • 공역의 모든 요소가 정의역에 대응되는 함수 - 공역과 치역이 동일한 함수

 

• 단사함수(Injection) 일대일 함수(One-to-One라고도 부름)
  • 정의역과 공역의 요소가 일대일로 대응되는 함수

 

• 전단사함수(Bijection, One-to-One and Onto)
  • 정의역과 공역의 모든 요소가 빠짐없이 일대일로 대응되는 함수
  • 전사함수와 단사함수의 두 가지 성질 모두 만족

 

 

 

합성함수

 

• 2개의 함수를 연쇄적으로 이어 하나의 함수로 만드는 연산을 함수의 합성(Function Composition)이라 한다.

 

• 합성 함수는 g∘f는 g 서클 f로 부르는데, 대응 순서에 맞춰서 g 애프터 f라고도 부른다

 

• 합성 함수를 이항연산으로 규정하면, 합성 함수는 결합법칙이 성립한다.

 

 

항등함수와 역함수

 

• 수의 연산에서 다룬 항등원, 역원과 동일한 개념이 함수에도 존재한다. 정의역과 공역이 동일한 값으로 대응되는 함수를 항등함수(Identity function)라고 하며 기호 id 로 나타낸다

 

• id ∘ f = f 고 f ∘ id = f

 

• 역함수는 두 집합의 대응 관계를 뒤집에 공역 Y에서 정의역 X로 대응하는 함수로도 생각할 수 있다.

 

• 모든 함수가 역함수를 갖지는 않는다.

 

• 함수가 역함수를 가지기 위해서는 반드시 전단사함수의 형태가 되어야한다.

 

 

 

곱집합을 활용한 좌표 평면으로의 확장

 

• 곱집합(Cartesian Product)이란 두 집합의 원소를 순서쌍으로 묶은 원소의 집합을 의미

 

• 두 집합 A와 B가 있고 각 집합에 속한 원소를 a와 b라고 했을 때 집합 A와 B의 곱집합은 AXB

 

• 곱집합의 요소는 각 집합의 원소 a와 b를 다음의 순서쌍으로 묶어 표현 - (a, b)