1. 수와 집합

수와 집합

 

집합(Set)

원소(Element)

 

집합은 서로 구분되는 원소로 구성된 묶음을 의미

이러한 집합론을 소박한 집합론(Navie set theory) 라고 한다.

 

소박한 집합론 관점에서 용도에 따라 수집합을 정의하여 구분

 

자연수 - 물건을 세거나 순서를 지정하기 위해 사용하는 수의 집합

정수 - 자연수와 자연수의 음수 0을 포함하는 수의 집합

유리수 - 분모가 0이 아닌 두 정수의 비율 혹은 분수로 나타낼 수 있는 수의 집합

무리수 - 두 정수 비 혹은 분소로 나타낼 수 없는 수의 집합

실수 - 유리수와 무리수를 포함하는 수의 집합

복소수 - 실수와 제곱하면 -1이 되는 허수단위 i를 조합해 a+bi(a,b는 실수) 형태로 표현하는 수의 집합

사원수 - 실수와 제곱하면 -1이 되는 세 허수 단위 i,j,k를 조합해 a+bi+cj+dk (a,b,c,d는 실수) 형태로 표현하는 수의 집합

 

 

가상 공간이라는 고차원의 체계를 만들어야 하기 때문에 집합의 성질을 참과 거짓으로 명확하게 구분해 줄 수 있는 명제가 필요하다.

 

명제 중에서 증명할 필요가 없는 기본 명제를 공리(Axiom)라고 하는데, 공리를 기반으로 대상을 구분하는 집합론을 공리적 집합론(Axiomatic set theory) 라고 한다.

 

공리적 집합론에서는 수가 가지는 연산에 대한 공리를 기반으로 수를 분류한다.

 

 

연산과 수의 구조

 

수집합의 고유한 특징은 원소를 이용해 연산을 한다는 점.

 

대표적으로 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 사칙연산이 있다.

 

이들은 두 개의 원소를 사용해 새로운 원소를 만들어내기 때문에 이항연산(Binary operation)이라고도한다.

 

 

이항연산의 성질

 

같은 집합에 속한 두 수를 투입한 이항연산의 결과가 항상 투입한 집합에 속한다면 그 이항연산은 해당 집합에 대해 닫혀 있다(Closure)고 한다.

 

그리고 이항연산은 교환법칙(Commutative law), 결합법칙(Associate law), 분배법칙(Distributive law) 3가지 성질을 지닌다.

 

 

교환법칙은 임의의 두 수 a와 b를 연산할 때 순서에 관계없이 항상 동일한 결과가 나오는 성질을 말한다.

 

 a+b = b + a 

 a · b = b · a 

 

 

결합법칙은 연산이 두 번 이상 연속될 때, 앞의 연산을 먼저 계산한 결과와 뒤의 연산을 계산한 결과가 같은 성질을 의미한다.

 

 (a + b) + c = a + (b + c) 

 (a · b) · c = a · (b · c) 

 

 

분배법칙은 서로 다른 2가지 연산에 대해 다음의 규칙이 성립되는 것

 

 1)a ·(b + c) = a · b + a · c 

 2)(b + c) · a = b·a + c·a 

1식을 좌분배법칙, 2를 우분배법칙이라고 하는데 이 두 가지를 모두 만족하면 분배법칙을 만족한다고 한다.

 

 

 

닫혀 있다는 개념과 세 가지 연산의 성질에 이어, 이항연산이 가지는 특징은 항등원(Identity)과 역원(Inverse)이다.

먼저 항등원이란 임의의 수와의 연산 결과를 항상 동일한 수로 만들어주는 특별한 수.

 

실수 집합에서 덧셈의 항등원이란 미지수 a 에 항등원 b를 더했을때 결과값이 a 그대로 나오는 수를 의미하므로,

덧셈의 항등원은 0이 된다.

 

 

실수 집합에서 덧셈의 항등원

 a + 0 = a 

 

실수 집합에서 곱셈의 항등원

 a · 1 = a 

 

역원이란 임의의 수와의 연산 결과를 항상 항등원으로 만들어주는 특별한 수

 

 

실수 집합에서 덧셈의 역원

 a + (-a) = 0 

 

실수 집합에서 곱셈의 역원

 a · 1/a =1 

 

 

항등원은 덧셈이나 곱셈에 대해 각각 0과 1로 고정되어 있지만 역원은 덧셈이나 곱셈에 주어진 수에 따라 그 값이 달라진다. 이러한 역원은 연산에 따라 일정한 패턴을 보인다.

 

 

즉 덧셈 역원은 주어진 수에서 항상 부호가 반대인 수가 되므로 반대수(Opposite number)라고 부른다.

 

또한 곱셈 역원은 분자가 1이고 분모는 주어진 수가 되므로 역수(Reciprocal)라고도 일컫는다.

 

단 분모가 0이 되는 분수는 존재하지 않으므로 0의 곱셈 역원은 없다.

 

 

 

수의 구조

 

 

다음과 같은 성질을 만족하는 수 집합.

 

1. 연산에 대해 닫혀 있다.
2. 연산에 대해 결합법칙이 성립한다.
3. 연산에 대한 항등원이 존재한다.
4. 연산에 대한 역원이 존재한다.
5. 연산에 대해 교환법칙이 성립한다.

 

정수 집합의 고조를 이와 같은 공리 체계에서 분석하면, 정수의 덧셈(+)은 위 공리를 모두 만족한다.

뺄셈은 교환법칙이 성립하지 않기 떄문에 만족하지 못한다.

연산을 하나 더 추가해, 두 개의 연산에 대한 공리를 생각해보자

 

1. 두 번째 연산에 대해 닫혀 있다.
2. 두 번째 연산에 대해 결합법칙이 성립한다.
3. 첫 번째 연산과 두 번째 연산에 대해 분배법칙이 성립한다.
4. 두 번째 연산에 대해 교환법칙이 성립한다.
5. 두 번째 연산에 대해 항등원이 존재한다.
6. 두 번째 연산에 대해 역원이 존재한다.( 단 0은 제외 )

 

정수 곱셈의 경우 결합법칙, 분배법칙, 교환법칙이 성립하지만 역원의 경우 정수가 아니기 때문에

11번의 공리를 만족하지 못한다.

 

자연수와 정수는 곱셈에 대한 역원이 존재하지 않기에 만족하지 못하고, 유리수와 실수는 곱셈의 역원이 존재하기에 11가지 공리를 모두 만족한다.

 

공리적 집합론에서 두 연산에 대해 1번부터 11번까지의 공리를 모두 만족하는 수 집합은 체(Field)의 구조를 지닌다고 표현한다.

 

유리수와 실수 같이 체의 구조를 가지는 수 집합은 특별한 예외 상황 없이 덧셈과 곱셈을 안전하고 자유롭게 사용할 수 있다고 볼 수 있다.

 

앞으로 특정한 수 집합을 지정해 사용하는 것이 아니라 체의 구조를 기반으로 체계를 확장해 공간의 구조를 생성하고 그 안에 콘텐츠를 담는 가상 세계를 구축할 것이다.

 

체는 사칙연산이 자유로이 시행될 수 있고 산술의 잘 알려진 규칙들을 만족하는 수의 구조다.

 

 

수의 표현

 

체의 구조를 만족하는 수집합은 유리수, 실수가 있지만, 우리는 이 중에서 실수를 사용해 덧셈과 곱셈 연산을 시각화할 것이다.

 

실수의 모든 요소는 상호 간에 크기를 비교할 수 있다. 더 큰 수는 오른쪽에 표시하는 규칙을 사용해 실수의 모든 원소는 수직선 상에 자신의 고유한 위치를 갖게 된다.

 

수가 지니는 방향의 속성은 부호를 사용해 나타내며 크기의 속성은 원점으로부터의 거리를 의미한다. 어떤 수의 원점으로부터의 거리는 수직 막대 기호를 써서 나타내는데, 이를 절댓값(Absolute Value)라고 한다.

 

우리는 시각적인 효과를 나타내기 위해 수와 연산을 사용한다.

 

물체에 힘을 가해 이동하거나, 크기를 늘리는 작업은 덧셈과 곱셈 연산으로 해석할 수 있다.

 

덧셈연산은 점을 평행 이동시키는 작업으로 해석할 수 있다. 어떤 수와 -5의 합은 수의 위치를 왼쪽 방향으로 5칸 만큼 이동시키는 작업이고 2와의 합은 오른쪽 방향으로 2칸만큼 이동시키는 작업이다.

 

곱셈 연산은 원점을 기준으로 점의 위치를 지정된 배율만큼 늘리고 대칭시키는 작업으로 해석할 수 있다. 2의 곱은 원점으로부터 거리를 같은 방향으로 2배 키우는 작업이고, -2와의 곱은 원점으로부터 거리를 2배로 늘린 후 반대쪽으로 대칭시키는 작업으로 볼 수 있다.